Resumen de números naturales

Resumen de números naturales

Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Conmutativa: a + b = b + a
4. Elemento neutro: a + 0 = a 

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna: 2 − 5 No perteneceConjunto de los números naturales
2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa: a · b = b · a
4. Elemento neutro: a · 1 = a
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de la división

1.División exacta: D = d · c    
2. División entera : D = d · c + r
3. No es una operación interna: 2 : 6 No perteneceConjunto de los números naturales
4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0
6. No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
4. Cocointe de potencias con la misma base: am : an = am - n
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n  
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b)n
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n

Propiedades de las raíces

1. Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2    
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto

Prioridades en las operaciones

1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º Calcular las potencias y raíces.
3º Efectuar los productos y cocientes.
4º Realizar las sumas y restas.

domingo, 8 de abril de 2018
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Operaciones combinadas con números naturales

Operaciones combinadas con números naturales

En las operaciones combinadas tenemos más de una operación matemática a resolver. Nos podemos encontrar con operaciones en las que intervien de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, además también podemos encontrarnos con fracciones, potencias y raíces.
Para resolver estas operaciones debemos seguir los siguientes pasos:

Prioridad de las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar los productos y cocientes.
4 Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
Efectuamos las sumas y restas.

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 =
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
Seguimos con los productos y cocientes.
Efectuamos las sumas y restas.

2. Operaciones combinadas con parénteis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) =
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)=
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad.
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

3. Operaciones combinadas con corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 2 ) =
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) =
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 4 =
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 4 =
= 12 · 7 − 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente.
Operamos en los paréntesis.
Después multiplicamos.
Finalmente restamos y sumamos.

4. Operaciones combinadas con llaves

7 - {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2) =
= 7 - [5 + 10 (4 − 2 + 44) − 8 · 32] + 50 (12) =
= 7 - (5 + 10 · 46 − 72) + 600 =
= 7 - (5 + 460 − 72) + 600 =
= 214
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente y donde había llaves escribimos corchetes.
Operamos en los paréntesis.
Volvemos a poner paréntesis y operamos.
Finalmente restamos y sumamos.

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Raíz cuadrada

Raíz cuadrada

La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
     
raíz cuadrada
(Raíz)índice = Radicando
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
     
raíz cuadrada
     (Raíz)2 = Radicando

Tipos de raíces cuadradas

1Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando encontramos un número "b" que elevado al cuadrado es igual al radicando:
b2 = a.
Ejemplo:
raices
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
      raices
Ejemplo:
raíz cuadrada
potencia
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Algunos de esos números son:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
2Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
raices
Ejemplo:
raices
raices

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Potencias

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
      5 · 5 · 5 · 5 = 54
Los elementos que constituyen una potencia son:
La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Propiedades de las potencias de números naturales

1 Un número elevado a 0 es igual a 1
      potencias num naturales
Ejemplo:
50 = 1
2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo
      potencias num naturales
Ejemplo:
51 = 5
3 Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
     potencias misma base
Ejemplo:
25 · 22 = 25+2 = 27
4 División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
      potencias
Ejemplo:
25 : 22 = 25 − 2 = 23
5 Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
      potencias
Ejemplo:
(25)3 = 215
6 Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
      potencias
Ejemplo:
23 · 43 = (2 · 4)3=83
7 Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
      potencias
Ejemplo:
63 : 33 = (6:3)3 = 23

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División de números naturales

División de números naturales


La división de dos numeros naturales es la operación que calcula cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).
Se representa mediante los signos: dos puntos :, barra diagonal / u óbelo ÷.
     
D : d = c

Términos que intervienen en una división:

* D se denomina dividendo
* d se denomina divisor
* El resultado (c) se denomina cociente
Para poder realizar la división de dos números naturales el dividendo ha de ser mayor o igual al divisor. Además el divisor tiene que ser siempre distinto de cero.

Tipos de divisiones

1 División exacta
Una división es exacta cuando el resto es cero.
     D = d · c
Ejemplo:
division
2 División entera
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
     D = d · c + r
Ejemplo:
divisionentera

Propiedades de la división de números naturales

1 No es una operación interna
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.
     no operacion interna
Ejemplo:
2 : 6 ejemplo operacion interna
2 No es conmutativa
     no es commutativa
Ejemplo:
6 : 2 ≠ 2 : 6
3 Cero dividido entre cualquier número da cero
     cero dividido
Ejemplo:
0 : 5 = 0
4 No se puede dividir por 0

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Multiplicación de números naturales

Multiplicación de números naturales


Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
Por ejemplo, la multiplicación 2·5 consiste en sumar el número 2 cinco veces:
2·5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Términos que intervienen en una multiplicación:

     a · b = c
* a y b se denominan factores
* El resultado (c) se denomina producto

Propiedades de la multiplicación de números naturales

1 Operación interna
El resultado de multiplicar dos números naturaleses otro número natural.
     operación interna
2 Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
     (a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo:
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.
     a · b = b · a
Ejemplo:
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
     a · 1 = 1 · a = a
Ejemplo:
3 · 1 = 1 · 3 = 3
5 Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.
     a · (b + c) = a · b + a · c 

Ejemplo:
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
     a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16

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Axiomas de números reales

Axioma de números reales 

sábado, 31 de marzo de 2018
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Resta de números naturales

Resta de números naturales


a − b = c
Los términos que intervienen en una resta se denominan:
* a se denomina minuendo.
* b se denomina sustraendo.
* El resultado (c) se denomina diferencia.

Propiedades de la resta de números naturales

1 No interna
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
nointerna
2 No conmutativa
nointerna

martes, 20 de febrero de 2018
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Suma de números naturales

Suma de números naturales

     a + b = c
Los términos que intervienen en una suma se denominan:
a y b se denomina sumandos.
El resultado (c) se denomina suma.

Propiedades de la suma de números naturales

1 Operación interna
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
      suma
2 Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3 Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Ejemplo:
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número
sumado con él da él mismo número.
a + 0 = 0 + a
Ejemplo:
a + 0 = a
3 + 0 = 3

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conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Con los números naturales podemos:
1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Ejemplo

8 es el número de planetas del Sistema Solar.
Sistema solar
2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).
Números ordinales
Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.
3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.
Números arbitrario
Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:
Ejemplo:
5 > 3 flecha 5 es mayor que 3.
3 < 5 flecha 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Representación de los números naturales en una recta

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5 trucos para mejorar en matemáticas

Los videojuegos basados en la lógica pueden ser tu mejor aliado para enfrentarte a las matemáticas


  • Tengas la edad que tengas, nunca es tarde para enfrentarse a los problemas de números y cálculos y trabajar en las habilidades que nos ayudarán a mejorar.
  • Trabajar el pensamiento lógico y la memoria visual te serán útiles para mejorar en las matemáticas.
  • Todo gran reto pasa por un trabajo diario y constante.
Las matemáticas pueden ser la peor pesadilla de algunos estudiantes, y si no se supera el miedo a esta asignatura, continuará dando pavor en edad adulta.
No ser capaz de resolver problemas aritméticos, o tener dificultades a la hora de comprenderlos, puede resultar muy frustrante y desmotivador para muchos estudiantes y puede conducir a que renuncien a ciertos estudios universitarios por no conseguir dominar las matemáticas.
Te proponemos varios trucos que puedes llevar a cabo para superar tu fobia a las matemáticas y, sobre todo, para trabajar tu capacidad de atención:

1. Entrena tu memoria

Dominar las matemáticas no solo supone desenvolverse bien con los cálculos y la aritmética, sino que también pasa por la mejora de ciertas habilidades cognitivas.
Trabajar la atención, la concentración y la memoria te serán muy útiles a la hora de exponerte a esta materia.
Tienes que tener presente que ser hábil en las matemáticas se basa en tu mejora en el pensamiento lógico y en tu capacidad de análisis.
Para conseguir esto, puedes ayudarte con aplicaciones y juegos que se centran en la mejora de la atención.

2. El ajedrez

Esta actividad es muy recomendable para el desarrollo de las habilidades mencionadas anteriormente.
El ajedrez se basa en la capacidad de análisis, el uso del razonamiento inductivo y, con esto, ser capaz de dar una respuesta.
Es una actividad basada en la estrategia y la predicción de movimientos, por lo que se desarrollan funciones mentales muy válidas para el desarrollo de la lógica.
Además, si comienzas a practicar con frecuencia, verás que es un deporte mental adictivo y que te enfrentará a grandes retos.

3. Las habilidades espaciales

La habilidad espacial es cuestión de ejercitarla y de aprender a aplicarla con destreza.
Para esto, es tan sencillo como realizar sencillos juegos de rellenar huecos, completar series,… El Sudoku puede ser tu gran aliado para trabajar, al igual que algunos videojuegos basados en la capacidad de reacción y en la memoria espacial.

4. Piensa en voz alta y gesticula

Según la revista Psychological Science, hacer gestos y exponer los problemas en voz alta ayudan a representar las ideas abstracta e ir dando forma al pensamiento lógico y resolutivo.
Si expones el desarrollo de los ejercicios en voz alta estarás verbalizando el problema y, por tanto, usando herramientas que ayudan a la comprensión y el entendimiento.
Es muy útil que realices esta actividad con otros compañeros de clase, de manera que te ayuden a comprender y a expresarte en el lenguaje matemático.

5. Trabajo y constancia

La única manera de mejorar en cualquier actividad es el trabajo diario y la dedicación.
Programa tus horas de estudio de manera que todos los días le dediques un rato a realizar ejercicios y a comprender los problemas que has visto en clase.
Junto al trabajo diario debes de aprender a controlar la ansiedad que supone enfrentarse a tareas que son difíciles y que suponen un gran reto.
Buscar un grupo de trabajo o un profesor de apoyo son opciones que pueden ayudarte con tu estudio y con el desarrollo de técnicas de trabajo que te ayuden a evolucionar y superar los problemas.
Y, sobre todo, hay que tener paciencia y celebrar cualquier pequeña evolución. ¡Estamos seguros que lo lograrás!


jueves, 15 de febrero de 2018
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